Hướng dẫn giải:
Câu 1:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a3 + 5a) là số nguyên chia hết cho 6.
a3 + 5a = a3 –a + 6a = a(a-1)(a+1) + 6a là số nguyên chia hết cho 6
2) Cho A Tìm số dư trong phép chia A cho 7.
Ta có 27309 ≡ 2 (mod 7)
Nên A ≡ ( mod 7) 210 = 83.2 ≡ 2 (mod 7)
=> A ≡ 2 + 2 + 2 +… + 2 ( mod 7) => A ≡ 20 (mod 7)
=> A ≡ 6 (mod 7) vậy A chia cho 7 dư 6.
Câu 2:
Chứng minh với x>0 và y>0.
với x>0 và y >0

Xảy ra đẳng thức khi x=y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết :
với a>0, b>0 và a+b ≤ 4.

Từ a>0, b>0 và a+b ≤4 => ab≤4 đẳng thức xảy ra khi a = b =2

áp dụng BĐT trong câu 1
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi a2 + b2 = 2ab ( a=b (1)
( BĐT Côsi cho hai số dương)
Đẳng thức xảy ra khi (2)
Vì ab≤4 => đẳng thức xảy ra khi ab=4 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có P ≥ 17 đẳng thức xảy ra khi a=b = 2

Câu III Cho phương trình x+ m -1 = m( với x là ẩn số ) (1)
khi m=3
Ta có x + 2 = 3( 2x + 4 =6đặt = t => 2x = t3 + 1 ta được t3 + 5 =6t ( (t-1)(t2 +t -5) = 0
=> t1 = 1 , t2 = , t3 = => x1=1 , x2 , x3 =
Tìm m để pt (1) có nghiệm lớn hơn 1.
Từ (1) đặt = t x>1 ( t >1
ta được t3-2mt +2m -1 =0 ( (t-1)(t2 +t +1 – 2m)=0 (2)
ta thấy (1) có nghiệm lớn hơn 1 ( (2) có nghiệm lớn hơn (1)
( t2 +t +1 – 2m =0 có nghiệm lớn hơn 1 ( m>
Câu IV
ta có AH + AK ≥ HK = 6
AH ≥3 hoặc AK≥3
Giả sử HK là đường kính vuông góc với OA, trên cung HK thuộc nửa mặt phẳng bờ HK không chứa điểm A ta dựng hình thang cân MNPQ có đáy lớn PQ ≤ 3
Khi đó hình thang cân MNPQ nội tiếp (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
MA + NA + QA + PA >12 và MN + NP + PQ + QM <12
Câu V:
1)* Trường hợp K nằm giữa B và N
Ta dễ có => tg AHKN nội tiếp
* Trường hợp N nằm giữa K và B ( bạn đọc tự vẽ hình)
Ta dễ có => tgAHNK nội tiếp
Vậy bốn điểm A, H, K, N cùng nằm trên một đường tròn
2 Ta có AK2 = AM2 + KM2
AM2 = AB2-BM2 = 4R2 – MB2
KM = ( do HK//OM và OB = 2OH)
Nên AK =
( 4R2 – MB2 +
( BM = R<=> M ≡ C